勒贝格测度

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数学上,勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析,特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合被称为勒贝格可测;勒贝格可测集 A测度,记作 λ (A) 。一般來說,我們允許一个集合的勒贝格测度为 ,但是即使如此,在假设选择公理成立时,Rn 仍有不勒贝格可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题,它是选择公理的一个结果。

问题起源[编辑]

人们知道,区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。

我们想构造一个映射 m ,它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ,並称这個数为集合 E测度。最理想的情况下,m 应该具有以下性质:

  • m 对于实数集的所有子集 E 都有定义。
  • 对于一个区间 [a, b]m([a, b]) 应当等于其长度 ba
  • m 具有可数可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合,并且 m 在其上有定义,那么 ,其中 表示並集
  • m 具有平移不变性。設集合 EE+k = {x+k : xE(即將 E 的每個元素各加上同一個實數 k 所得到的集合)。若 m(E) 有定義,則滿足 m(E+k) = m(E)

遗憾的是,这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次,寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度,它只满足有限可加性。

性质[编辑]

設集合 AB 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质:

  1. 如果 A 是一列区间 (In)笛卡爾積 ,則 A 是勒贝格可测的,并且 ,其中 | I | 表示区间 I 的长度。
  2. 如果 A有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 (En)并集,即 ,那么 A 也是勒贝格可测的,并且
  3. 如果 A 是勒贝格可测的,那么它相对于 Rn 的补集也是可测的。
  4. 对于每个勒贝格可测集 A
  5. 如果 AB 是勒贝格可测的,且 AB ,則
  6. 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集,仍然是勒贝格可测的。
  7. 如果 A 是在 Rn 上的博雷爾集(即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合),則 A 是勒贝格可测的。[1][2]
  8. 如果 A 是勒贝格零测集,即 ,则 A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。
  9. 如果 AB 是勒贝格可测的,且 B = {x+k : xA(即將 A 平移 k 個單位),則 B 也是勒贝格可测的,并且
  10. 如果 AB 是勒贝格可测的,且 B = {kx : xA(即將 A 縮放 k 倍),則 B 也是勒贝格可测的,并且
  11. 更广泛地说,设 T 是一个线性变换det(T) 為其行列式。如果 A 是勒贝格可测的,则 T(A) 也是勒贝格可测的,并且
  12. f 是一个從 ARn 上的连续单射函数。如果 A 是勒贝格可测的,则 f(A) 也是勒贝格可测的。


简要地说, Rn 的勒贝格可测子集组成一个含所有区间的笛卡尔积的σ-代数,且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 的测度。

勒贝格测度是σ-有限测度

零测集[编辑]

Rn的子集 A零测集,如果对于每一个ε > 0,A 都可以用可数多个盒(即 n 個区间的乘积)来覆盖,且其总体积最多为ε。所有可数集都是零测集。

如果Rn的子集的豪斯多夫维数小于n,那么它就是关于n维勒贝格测度的零测集。在这里,豪斯多夫维数相对于Rn上的欧几里得度量(或任何与其利普希茨等價英语Equivalence_of_metrics#Strong_equivalence的度量)而言。另一方面,一个集合可能拓扑维数小于n,但具有正的n维勒贝格测度。一个例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集,它的拓扑维数为0,但1维勒贝格测度为正数。

为了证明某个给定的集合A是勒贝格可测的,我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B,与A只相差一个零测集,然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。

例子[编辑]

  • 如果A是一个区间[a, b], 那么其勒贝格测度是区间长度ba。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样,因为两集合的差是零测集。
  • 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积,则它是一个长方形,测度为它的面积 (ba)(dc)。
  • 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。

勒贝格测度的结构[编辑]

勒贝格测度的现代構造基于外测度[3],是卡拉西奥多里发明的。

固定中的盒子是形如的集合,其中。这个盒子的体积定义为

对于Rn的任何子集A,我们可以定义它的外测度

是可数个盒子的集合,它们的并集覆盖了

然后定义集合A为勒贝格可测的,如果对于所有集合,都有:

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为λ(A) = λ*(A).

根据维塔利定理,存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A的子集,且其测度为正,那么A便有勒贝格不可测的子集。

与其他测度的关系[编辑]

A 博雷尔可測,則其博雷爾測度与勒贝格测度一致;然而,仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的,但不是完备的。

哈尔测度可以定义在任何局部紧上,是勒贝格测度的一个推广(带有加法的Rn是一个局部紧群)。

豪斯多夫测度(参见豪斯多夫维数)是勒贝格测度的一个推广,对于测量Rn的维数比n低的子集是很有用的,例如R³内的曲线或曲面,以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。

可以证明,無法類似地在无穷维空间上定義勒贝格测度。

历史[编辑]

勒贝格在1901年描述了他的测度,随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。[4]

参看[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable?. math stack exchange. [26 September 2015]. 
  2. ^ Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?. math stack exchange. [26 September 2015]. 
  3. ^ Royden, H.L. Real analysis 3rd. New York: Macmillan. 1988: 56. ISBN 978-0024041517. 
  4. ^ Henri Lebesgue. Intégrale, longueur, aire. Université de Paris. 1902.