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圆锥曲线

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圆锥曲线

圆锥曲线英語conic section),又稱圓錐截痕圓錐截面二次平面曲线,是数学幾何學中通过平切圆锥(嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的曲线,包括椭圆抛物线双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在約公元前200年時就已被命名和研究了,其發現者為古希臘數學家阿波羅尼奥斯,那时阿波羅尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为(椭圆,抛物线,双曲线的统一定义):动点到一定点(焦点)的距离与其到一定直线(准线)的距离之比为常数(離心率)的点的集合是圆锥曲线。对于得到椭圆,对于得到抛物线,对于得到双曲线。

定义[编辑]

定点为定直线为正常数,称满足的动点的轨迹为圆锥曲线

其中为其焦点准线离心率

由此可知,圆锥曲线的极坐标参数方程(正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起)。 其中极轴夹角为定直线,即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得,

时,曲线为抛物线
时,
时,曲线为椭圆
时,曲线为双曲线

圆锥曲线的类型[编辑]

圆锥曲线 方程 離心率e 半焦距c 半正焦弦 焦点准线距离p
橢圓
拋物線
雙曲線
圆锥曲线的类型:1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线

椭圆:当平面只与圆锥面一侧相交,交截线是闭合曲线的时候,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。

抛物线:截面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。

双曲线:截面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候,有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质[编辑]

椭圆(Ellipse)[编辑]

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长(2a)。

抛物线(Parabola)[编辑]

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线(Hyperbola)[编辑]

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长(2a)。

离心率[编辑]

有固定焦点F和准线的椭圆(e=1/2)抛物线 (e=1)双曲线(e=2)

对于椭圆和双曲线,可以采用两种焦点-准线组合,每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是,这里的是椭圆的半长轴,或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是

在圆的情况下,且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的越接近于1,半短轴就越小。

笛卡尔坐标[编辑]

笛卡尔坐标系内,二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線,并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

此處參數不得皆等於

矩陣表示[编辑]

上述方程可以使用矩陣表示爲[1]

亦可以寫作

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)

下文中記,記

類別[编辑]

藉由,我們可以判定圓錐曲線是否退化。

  • ,則圓錐曲線退化。
  • ,則圓錐曲線未退化。

若圓錐曲線未發生退化,則[2]

  • , 方程表示一個橢圓
    • 對於橢圓,當時,爲一個實橢圓;當爲一個虛橢圓。(例如,沒有任何實值解,是一個虛橢圓)
    • 特別的,若,作爲橢圓的特殊情況,表示一個
  • 表示一條拋物線
  • 表示一條雙曲線
    • 表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化,則

  • ,作爲橢圓的退化,爲一個點。
  • ,作爲拋物線的退化,爲兩條平行直線。
    • 爲兩條不重合的平行直線。
    • 爲兩條重合的平行直線。(特別的,此時爲1)
    • 直線不存在與實平面中。
  • ,作爲雙曲線的退化,爲兩條相交直線。(同時,也是雙曲線的漸近線)

在此處的表達中,爲多項式係數,而非半長軸和半短軸

不變量[编辑]

矩陣的行列式,以及)在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。[2][3][4] [5]:60–62頁 常數項以及僅在旋轉中保持不變。[5]:60–62頁

離心率[编辑]

的離心率可被寫作關於係數的函數。[6]拋物線,其離心率爲1。其它情況下,假設表達一個未退化的橢圓或雙曲線,那麼

此處若爲負則;若爲正則

此外,離心率也是下述方程的一個正根[5]:89頁

此處 。對於橢圓或拋物線,該方程只有一個正根,即其離心率;對於雙曲線,其有兩個正根,其中的一個爲其離心率。

轉換爲標準方程[编辑]

對於橢圓或雙曲線,可用變換後的變量表示爲如下所示的標準形式[7]

或等價的

此處,特徵值,也即下述方程的兩根:

同時,

通過座標變換,各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式:

椭圆 抛物线 双曲线
标准方程
参数方程

极坐标[编辑]

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦(semi-latus rectum)通常指示为l,是从单一焦点或两个焦点中的一个,到圆锥曲线自身的,沿着垂直于主轴(长轴)的直线度量的距离。它有关于半长轴,和半短轴,通过公式

极坐标系中,圆锥曲线有一个焦点在原点,如果有另一个焦点的话它在正x轴上,给出自方程

或者,

如上,对于得到一个圆,对于得到椭圆,对于得到抛物线,对于得到双曲线。

齐次坐标[编辑]

齐次坐标下圆锥曲线可以表示为:

或表示为矩阵

矩阵叫做“圆锥曲线矩阵”。

叫做圆锥曲线的行列式。如果则这个圆锥曲线被称为退化的,这意味着圆锥曲线是两个直线的联合(两相交直线,两平行直线或两重合直线)或一点。。

例如,圆锥曲线退化为两相交直线:

类似的,圆锥曲线有时退化为两重合直线(两直线重合成一条):

被称为圆锥曲线的判别式。如果则圆锥曲线是抛物线,如果则是双曲线,如果则是椭圆。如果,圆锥曲线是;如果,它是直角双曲线。可以证明在複射影平面中,两个圆锥曲线共有四个点(如果考虑重根),所以永不多于4个交点并总有1个交点(可能性:4个不同的交点,2个单一交点和1个双重交点,2个双重交点,1单一交点和1个三重交点,1个四重交点)。如果存在至少一个重根的交点,则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点,两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的,每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点,则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次,每个圆锥曲线有两个点在无穷远(与无穷远线的交点)。如果这些点是实数的,圆锥曲线必定是双曲线;如果它们是虚共轭,圆锥曲线必定是椭圆,如果圆锥曲线有双重点在无穷远,则它是抛物线。如果在无穷远的点是,则圆锥曲线是。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远,或它有两个不共轭的虚数点,它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

参考文献[编辑]

  1. ^ Brannan,Esplen & Gray(1999)
  2. ^ 2.0 2.1 Protter & Morrey 1970,第326页
  3. ^ Wilson & Tracey 1925
  4. ^ Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
  6. ^ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
  7. ^ Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

外部链接[编辑]